Wenn die Unendlichkeit ins Hotel eincheckt
Autor: ©Science Pool, River
Dezember 2021
Unseren Wendewürfel kann man unendlich oft drehen und wenden. Dabei ist der Begriff der Unendlichkeit auf den ersten Blick recht eindeutig: Wenn etwas unendlich ist, hat es kein Ende. Wenn man aber den Begriff Unendlichkeit in der Mathematik verwendet, passieren manchmal doch recht seltsame Dinge.
Oft, wenn Wissenschafter:innen eine Lösung für ein Problem suchen, verwenden sie eine Technik, die man „Gedankenexperiment“ nennt. Dabei entwerfen sie in Gedanken eine Situation, die in der „realen“ Welt so nicht oder nur sehr schwer herzustellen ist. Eines der bekanntesten mathematischen Gedankenexperimente stammt aus dem Jahr 1924 und wurde von dem Mathematiker David Hilbert formuliert.
Herr Hilbert schickt gedanklich unendlich viele Menschen ins Hotel
In einem „normalen“ Hotel können, wenn alle Zimmer belegt sind, keine Gäste mehr aufgenommen werden. Hätte zum Beispiel ein Hotel 20 Gästezimmer – und in jedem Zimmer einen Gast – wäre es ausgebucht. Jetzt versuch dir aber ein Hotel vorzustellen, das unendlich viele Zimmer hat. Und in jedem dieser Zimmer ist ein Gast eingecheckt. Man würde jetzt meinen, dass es auch in so einem Hotel keinen Platz für einen neuen Gast gibt.
In Hilberts Hotel mit unendlich vielen Zimmern ist es aber so, dass man immer Platz für einen weiteren Gast schaffen kann. Dafür muss man folgendes wissen: Diese Zimmer sind mit natürlichen Zahlen, beginnend mit „1“, durchnummeriert. Zur Erklärung, natürliche Zahlen sind die „ganzen“ Zahlen ohne Kommastellen und ohne Brüche. Würde jetzt jeder Gast ein Zimmer weiter gehen, also der Gast von Zimmer 1 in Zimmer 2, der von Zimmer 2 in Zimmer 3 usw., würde Zimmer 1 frei werden und ein zusätzlicher Gast könnte in dieses erste, jetzt freie Zimmer einziehen. Das funktioniert gedanklich, da es ja unendlich viele Zimmer gibt und auch immer ein neues weiteres Zimmer, in das ein Gast einziehen kann. Diesen Prozess kann man wiederholen, wann immer ein neuer Gast erscheint und ein Zimmer buchen möchte. So kann man Platz für beliebig viele neue Gäste schaffen.
Ein freies Bett für einen Gast schaffen – durch Zimmerwechsel
Viel mehr noch, es ist sogar möglich, Platz für unendlich viele neue Gäste zu schaffen. Damit das funktioniert, wendet man einen mathematischen Trick an: der Gast von Zimmer 1 geht wieder in Zimmer 2. Aber der Gast von Zimmer 2 geht ins Zimmer 4. Und der Gast aus Zimmer 3 geht in Zimmer 6. Jeder Gast multipliziert also seine Zimmernummer mit 2 und geht dann in das Zimmer mit dieser durch Multiplizieren entstandenen Zimmernummer. Vielleicht ist dir jetzt schon aufgefallen, dass auf diese Art alle Zimmer mit ungerader Zimmernummer (1, 3, 5, 7, 9, 11 usw.) frei werden! Und – weil es auch unendlich viele ungerade nummerierten Zimmer gibt – entsteht unendlich Platz für die neu ankommenden, unendlich vielen Gäste.
Was tun, wenn nicht einzelne Gäste kommen,
sondern gleich ganze Reisebusse?
Dieses Gedankenexperiment kann man auch noch auf mehrere, „ineinander verpackte“ Anzahlen an unendlich vielen Gästen ausweiten. Stelle dir zum Beispiel vor, dass jetzt unendlich viele Reisebusse zum Hotel fahren und in jedem Reisebus befinden sich unendlich viele neue Gäste. All diese Gäste können trotzdem im Hotel unterkommen, wenn man die Zimmer mit ungeraden Zahlen, wie im vorherigen Beispiel, freimacht und dann den Gästen pro Bus zuordnet. Die Gäste aus dem ersten Bus könnten zum Beispiel in die Zimmer gehen, deren Nummern sich aus Multiplikationen der Zahl 3 mit sich selbst ergeben (3, 3 x 3 = 9, 3 x 3 x 3 = 27, 3 x 3 x 3 x 3 = 81 usw). Die Gäste aus dem zweiten Bus gehen nun in die Zimmer, deren Nummern sich aus Multiplikationen der Zahl 5 mit sich selbst ergeben (5, 25, 125 usw) und so weiter, bis alle Gäste aus allen Bussen untergebracht sind. Dadurch bleiben sogar unendliche viele Zimmer leer, weil manche Zahlen, wie zum Beispiel die Zahl 15, weder gerade noch das Ergebnis der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst sind.
Unendlichkeit – nicht vorstellbar
Dieses Gedankenexperiment mit den unendlich vielen Gästen in unendlich vielen Bussen kann deshalb funktionieren, weil die Unendlichkeit in der Mathematik anders funktioniert, als wir es uns vorstellen können. Wir sind an endliche Ansammlungen von Dingen in unserem Leben gewöhnt, daher ist es für uns nicht einfach, dieses Experiment durchzudenken.
Das kann man anhand der Zimmernummern gut erkennen. In einem Hotel mit einer endlichen Anzahl an Zimmern – zum Beispiel mit sieben Zimmern – gibt es 4 Zimmer mit ungerader Zahl: 1, 3, 5, 7. Bei 7 Zimmern ist also die Anzahl der Zimmer mit ungerader Zahl kleiner als die Gesamtanzahl der Zimmer.
Natürlich gibt aber mathematisch gesehen insgesamt unendlich viele ungerade Zahlen. Und gleichzeitig unendlich viele natürliche Zahlen – gerade und ungerade. Gewissermaßen ist also die Anzahl an Zimmern mit ungeraden Nummern in Hilberts Hotel gleich groß wie die Gesamtanzahl der Zimmer, die beiden Anzahlen sind unendlich hoch. So eigenartige es auch klingt: mathematisch gesehen ist ein Teil ist gleich groß wie sein Ganzes.
Mathematik kann Unvorstellbares beschreiben
In der Mathematik nennt man diese Anzahl „Menge“. Und die Menge aller Zimmer beinhaltet auch die Teilmenge der Zimmer mit den ungeraden Zahlen. Die „Mächtigkeit“ (die Anzahl der beinhalteten Teile) beider Mengen ist gleich. In diesem Fall ist die Mächtigkeit aller Teilmengen, nämlich der geraden Zahlen, der ungeraden Zahlen und auch der Zahlen, die sich aus Multiplikationen der Zahlen 3 oder 5 mit sich selbst ergeben, gleich der Mächtigkeit der Menge ALLER natürlichen Zahlen. Und genau das ist die Definition einer unendlich Menge: sie hat gleichmächtige echte Teilmengen.